前言
哥德巴赫猜想是(Goldbach’s Conjecture)是数论中存在最久的未解问题之一，是一个伟大的世界性的数学猜想，其基本思想可以陈述为：
任何一个大于2的偶数，都能表示成两个素数之和。
如： 4 = 2 + 2 6 = 3 + 3 96= 23 + 73
本文将采用两种不同的算法来求出给定范围 n 内的哥德巴赫数字，并对比其时间复杂度，得出更优算法。
分析
根据哥德巴赫猜想，我们可以得出如下信息：
- 哥德巴赫数字是一个大于2的偶数。
- 哥德巴赫数字等于两个素数相加。
思路A
思路A与之前见过的很多想法一样，简单粗暴，采用嵌套 for 循环。思路如下：
- for 循环依次遍历 [4, n] 范围内的偶数。
- 然后，针对每个数字（c）再次进行 for 循环找出两个数字（a,b）之和等于该数字的数字。（即 c = a + b）
- 判断 a,b 是否都为素数。
- 输出结果。
Show the (garbage) code!
实现A
我们把思路A实现的程序分成两个功能模块：
-
判断是否为素数模块 int isPrime(int i)，返回 1 即为素数。
int isPrime(int i) { int j; if (i <= 1) return 0; if (i == 2) return 1; for (j = 2; j < i; j ++) { number ++; if (i % j == 0) { return 0; }else if(i != j + 1) { continue; }else { return 1; } } } -
主程序模块：针对 [4, n] 之间的正偶数进行数值拆分，然后再用isPrime函数进行筛选，如果k，j都为素数，即满足哥德巴赫猜想，输出该数字。
do { printf("please enter a number:"); int number = 0; scanf("%d", &number); int i, j, k; for (int i = 4; i <= number; i += 2) { for (k = 2; k<= i/2; k ++) { j = i - k; if (isPrime(k)) { if (isPrime(j)) { printf("%d=%d+%d\n",i, k, j); } } } } }while (1);
思路B
递归算法，也是我业余时间自己写的一个，递归路径类似鱼骨头，基本思路如下：
- 针对输入的 n 进行拆分（c = a + b 的形式）并递归。
- 如果拆分的数字 a,b 为偶数，则可能为符合哥德巴赫猜想，回到1。
- 如果 c 为偶数，且 a,b 为素数，即满足哥德巴赫猜想，输出该数字。
这里笔者画了一张抽象的鱼骨头图，帮助读者理解：
实现B
思路B实现的程序主要分成三个功能模块，为了区分思路A，判断素数的模块也采用递归的形式：
-
判断是否为素数 int isPrime(int i)，返回 1 即为素数。
// 判断偶数 int isEven(int original) { return (original % 2 == 0); } int isPrimeInner(int original, int current) { if (current<=0 || original<=0 || original == 1) return 0; if (original % 2 == 0) { if (original == 2) return 1; return 0; } if (current > (original / 2) + 1) return 1; if (original % current == 0 && current != 1) return 0; return isPrimeInner(original, current + 2); } // 判断是否为偶数 int isPrime(int original) { return isPrimeInner(original, 1); } -
递归模块
参数
current: 代表分裂初始值，参数flag: 代表是否深入遍历，此处用于控制重复遍历的情况，如：original=10 时，second=8 时，两次会都会重复遍历 6/4/2，因此加入flag进行限制，只进行一次深入遍历！！void splitSumInner(int c, int current, int flag) { // 哥德巴赫为大于2的偶数 if (c <= 2) return; // 如果 current 大于 c 的一半，即代表遍历完毕 if (current >= (c / 2) + 1) return; // 第一次分裂 c 数值 int a = current; int b = c - current; // 递归遍历并分裂 c 数值 splitSumInner(c, ++ current, flag); // 判断能否深入遍历 if (flag && a > 2 && isEven(a)) { // 深入遍历 分裂第一个子偶数 splitSum(a, 0); } if (flag && b > 2 && isEven(b)) { // 深入遍历 分裂第二个子偶数 splitSum(b, 0); } // 如果 c 为偶数，且 a,b 为素数，即满足哥德巴赫猜想，输出该数字。 if (isEven(c) && isPrime(a) && isPrime(b)) { printf("\n%d=%d+%d\n",c, a, b); } } // original: 待分裂的原始数值（ps：会自动分裂 小于 original 下的所有数值） // flag: 1 代表分裂小于 original 下的所有数值；0 代表分裂当前 original 数值 void splitSum(int original, int flag) { splitSumInner(original, 1, flag); } -
主程序模块
void goldbachConjecture(int n) { splitSum(n, 1); } int main() { do { printf("please enter a number:"); int number = 0; scanf("%d", &number); goldbachConjecture(number); } while (1); return 0; }
时间复杂度对比
时间复杂度说白了就是算法中基本操作的执行次数，更通俗的说法，就是最深层循环内的语句。基本操作的重复执行次数是和算法的执行时间成正比的。下面我们来粗略计算一下上述算法的时间复杂度。
A 算法分析
在程序 A 中，与下面的代码相同，采用嵌套三层 for 循环的方式进行遍历：
```
for (int i = 1; i <= n; i ++) { // 第一层循环
for (int j = 1; j <= i; j ++) { // 第二层循环
for (int k = 1; k <= j; k ++) { // 第三层循环
count ++;
printf("%d*%d*%d\n", i, j, k);
}
}
}
```
下面我们来剖析一下基本操作：
- 第一层 for 循环执行 n 次。
- 第二层 for 循环以 i 为规模分别执行 1,2,3,4……n-1,n 次，集一个公差为 1 的等差数列，总次数为 (n+1)*n/2。
-
第三层 for 循环采用排列组合来计算，举个例子，当 n = 3 时，有 10 次基本操作，我们把执行路径格式定义成 ijk，如下:
111 211 221 222 311 321 322 331 332 333
B 算法分析
结论
以上时间复杂度只是笔者通过简单粗略的分析得出，仅供参考。通过上述分析，我们发现算法A与算法B时间复杂度是一样的，感兴趣的童鞋可以自己计算上述两种算法的时间复杂度。笔者通过测试发现，相同的问题规模，随着 n 的增大，算法B的时间复杂度要远小于算法A。如：n = 100 时，算法B遍历次数是 6380 次左右，算法A遍历次数高达 15569 次（论算法糟糕的可怕性…）。源码地址
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